В этой статье мы рассмотрим, что такое ортонормированный базис матрицы и как их найти в MATLAB с помощью Орт() функция.
Что такое ортонормированный базис матрицы?
В линейной алгебре ортонормированный базис векторного пространства V, имеющего конечную размерность, являются базисом, имеющим ортонормированные векторы где ортонормированные векторы — это единичные векторы, ортогональные друг другу, то есть их скалярное произведение равно нулю.
Рассмотрим двухединичные векторы x и y, они будут ортогональны друг другу, если «х.у=0» . Эти два вектора также называются ортонормированные векторы .
Зачем нам нужно вычислять ортонормированный базис
Ортонормированный базис полезен с точки зрения нахождения проекции вектора на другой вектор или определения расстояния между двумя векторами. Мы также можем использовать ортонормированный базис чтобы уменьшить ошибку округления в наших симуляциях, и единственная причина этого заключается в том, что векторы в ортонормированном базисе независимы друг от друга, поэтому ошибка в одном векторе не может распространяться на другие векторы. Кроме того, найти координаты и выполнить линейное преобразование намного проще, если наш базис ортонормирован.
Как найти ортонормированный базис матрицы в MATLAB?
В MATLAB мы можем найти ортонормированный базис с помощью встроенного Орт() функция, отвечающая за определение ортонормированный базис заданной матрицы. Эта функция принимает матрицу в качестве обязательного параметра и предоставляет матрицу в качестве вывода, содержащую ортонормированный базис данной входной матрицы.
Синтаксис
Орт() функция может быть реализована в MATLAB с помощью следующих синтаксисов:
Q = орт ( А,тол )
Здесь,
- Функция Q = орто(А) несет ответственность за определение ортонормированный базис для диапазона A, где столбцы выходной матрицы Q представляют собой ортонормированный базис матрицы A, и они спамят диапазон матрицы A. Кроме того, ранг A равен количеству столбцов Q.
- Функция Q = орт(A,тол) несет ответственность за определение ортонормированный базис для диапазона A с указанием допуска. Сингулярные значения входной матрицы A, которые меньше допуска, рассматриваются как ноль, влияя на количество столбцов Q.
Пример 1. Как найти ортонормированный базис матрицы полного ранга в MATLAB?
Этот код MATLAB определяет ортонормированный базис заданной квадратной матрицы A размера n=3 с использованием Орт() функция. Этот код также находит ранг матрицы A, используя классифицировать() функция для проверки того, что входная матрица имеет полный ранг.
А = [ 1 0 -1 ; 1 2 0 ; 0 1 - 3 ] ;г = ранг ( А )
Q = орт ( А )
Пример 2. Как вычислить ортонормированный базис матрицы с дефектным рангом в MATLAB?
В этом примере мы используем Орт() функция, позволяющая найти ортонормированный базис данной матрицы A с дефицитом ранга. Матрица A является дефектной по рангу, поскольку ранг (К) <размер (А) .
А = [ 1 0 -1 ; 1 2 0 ; 0 0 0 ] ;г = ранг ( А )
Q = орт ( А )
Пример 3. Как найти ортонормированный базис матрицы полного ранга, задав допуск в MATLAB?
В данном примере вычисляется ортонормированный базис данной полноранговой квадратной матрицы A размером п=3 используя Орт() функция с допуском по умолчанию. Поскольку A — матрица полного ранга, размер A и Q (ортогональный базис) то же самое, в данном случае 3×3. Затем в примере вычисляется ортонормированный базис A, указав значение допуска 0,5, чтобы значения A меньше 0,5 считались сингулярными значениями. В A имеется три сингулярных значения, поэтому A имеет два ортонормированных вектора-столбца, которые содержатся в Ктол матрица.
А = ранд ( 3 ) ;г = ранг ( А )
Q = орт ( А )
Q_tol = орт ( А, 0,5 )
Заключение
Нахождение ортонормированный базис векторного пространства — важное понятие линейной алгебры, представляющее собой сложную математическую задачу. Однако ее можно легко и эффективно решить, используя встроенный в MATLAB инструмент. Орт() функция. В этой статье была представлена реализация этой функции с использованием различных синтаксисов и примеров.